martes, 14 de junio de 2011

3.1 AREAS

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1   Área bajo la gráfica de una función.












3.1.2   Área entre las gráficas de funciones.


Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.



Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.
Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:
Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.







BIBLIOGRAFIAS:
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jueves, 2 de junio de 2011

Revision del Blog (Corregir)

Los videos tienen que estar referenciados al tipo de tema a desarrollar durante la actualizacion del blog, por tal motivo su evaluacion es de 85%

Atentamente

Ing. Enrique Márquez Eloiza
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EVALUACIONES

Evaluacion

Por medio de la presente informo que su calificacion es de 93%
Atentamente

Ing Enrique Marquez

Evaluacion Parcial

Por medio de la presente informo que el equipo ha obtenido en los 5 subtemas el 94%

Atentamente
Ing. Enrique Márquez
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3.2 LONGITUD DE CURVAS.

Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.


Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:



































BIBLIOGRAFIAS:
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3.3 Cálculo De Volúmenes De Sólidos De Sólidos De Revolucion.




























Ejemplos

Ejemplo 1:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=\sqrt{x},\;y=0,\;x=1,\;x=4$.

Solución


$i-$ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje $x$ genera un disco circular en forma de cilindro circular recto.



El volumen del $i-$ésimo disco circular es:
\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}


La suma de aproximación del volumen:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n \pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}


El volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\displaystyle \int_1^4\pi x\,dx\\ [2mm] &=&\pi\frac{x^... ... &=&8\pi-\frac{\pi}{2}\\ [2mm] &=&\frac{15}{2}\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}



Ejemplo 2:
Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de $y=2-x,\;x=0,\;y=0$ gira alrededor del eje $x$.

Solución:
La representación gráfica del sólido de revolución es la siguiente:


El volumen del $i-$ésimo disco circular es:
\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi[2-t_i]^2\cdot \Delta x_i\end{displaymath}


La suma de aproximación del volumen es:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n\pi(2-t_i)^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Luego, si $f(x)=2-x$, entonces el volumen del sólido está dado por:
\begin{eqnarray*} \int_0^2[f(x)]^2\,dx&=&\pi\int_0^2(2-x)^2\,dx\\ [2mm] &=&\f... ...{3}(2-x)^3\bigg\vert _0^2\\ [2mm] &=&\frac{8\pi}{3}\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}






  






BIBLIOGRAFIAS:

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