jueves, 2 de junio de 2011

3.3 Cálculo De Volúmenes De Sólidos De Sólidos De Revolucion.




























Ejemplos

Ejemplo 1:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=\sqrt{x},\;y=0,\;x=1,\;x=4$.

Solución


$i-$ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje $x$ genera un disco circular en forma de cilindro circular recto.



El volumen del $i-$ésimo disco circular es:
\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}


La suma de aproximación del volumen:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n \pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}


El volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\displaystyle \int_1^4\pi x\,dx\\ [2mm] &=&\pi\frac{x^... ... &=&8\pi-\frac{\pi}{2}\\ [2mm] &=&\frac{15}{2}\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}



Ejemplo 2:
Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de $y=2-x,\;x=0,\;y=0$ gira alrededor del eje $x$.

Solución:
La representación gráfica del sólido de revolución es la siguiente:


El volumen del $i-$ésimo disco circular es:
\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi[2-t_i]^2\cdot \Delta x_i\end{displaymath}


La suma de aproximación del volumen es:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n\pi(2-t_i)^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Luego, si $f(x)=2-x$, entonces el volumen del sólido está dado por:
\begin{eqnarray*} \int_0^2[f(x)]^2\,dx&=&\pi\int_0^2(2-x)^2\,dx\\ [2mm] &=&\f... ...{3}(2-x)^3\bigg\vert _0^2\\ [2mm] &=&\frac{8\pi}{3}\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}






  






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