4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

Teorema: Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0 . Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor que

Satisface :

F(x0)  P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0)  Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x − x0)n

Nota: Este polinomio proporciona una

aproximación razonable de f en los

puntos cercanos a x0.

Nota: Cuando el desarrollo lo hacemos

en el punto x0 + 0, decimos al polinomio

de Mac-Laurin.

Teorema: Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1 existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . .  1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x)  1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

Teorema: Si f es una función n veces

derivable en el punto x0 y Pn(x) es su

polinomio de Taylor se cumple: x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado

de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se

puede usar para estimar el error al

aproximar una función mediante su

polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano,

entonces se plantea la cuestión de la

precisión de la aproximación . Si se especifica la precisión entonces la

cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su

polinomio de Taylor tiene validez local,

es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede

evaluarse si una función cumple los

requisitos del teorema de Taylor en un

intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que,

en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)   

Descripción: Enginyeria informàtica. II26: Processadors de Llenguatge

Autor(es): Vilar Torres, Juan Miguel - 

Id.: 49450949

Idioma: español  - 

Versión: 1.0

Estado: Final

Audiencia: Estudiante  -  Profesor  -  Autor  - 

Estructura: Atomic

Copyright: sí

Relación: [References] http://e-ujier.uji.es/pls/www/!gri_www.euji22102?p_id=26&p_tipo=T&p_curso=II26&p_idioma=CA